si miramos a nuestro alrededor veremos que conocemos muchos de ellos:
martes, 24 de mayo de 2011
¿QUE SON LOS CUERPOS REDONDOS?
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos una de sus caras o superficies de forma curva.Tambien se denominan cuerpos de revolucio´n por que pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.
si miramos a nuestro alrededor veremos que conocemos muchos de ellos:
si miramos a nuestro alrededor veremos que conocemos muchos de ellos:
ESFERA Y SUPERFICIE ESFERICA
Dados un punto o y un segmento R,se llama superficie esférica al conjunto de puntos del espacio cuya distancia a o es igual a R
Se llama esfera de centro o y radio R al conjunto de puntos de la superficie esférica y todos los puntos interiores a ella.
ELEMENTOS DE LA ESFERA.
Se llama esfera de centro o y radio R al conjunto de puntos de la superficie esférica y todos los puntos interiores a ella.
ELEMENTOS DE LA ESFERA.
- Generatriz:es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
- Centro de la esfera:es el centro de semicircunferencia y corresponde al punto o.
- Radio es cualquier segmento que une el centro con un punto de lasuperficie esferica.Todos losradios son iguales.
- Diametro:es el segmento que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro dela esfera.
SECCIONES CON UN PLANO.
CASQUETE ESFERICO-: · Si un plano secciona a una superficie esférica, se llama casquete esférico a cada una de las partes en que esta queda dividida. · La sección del plano con la superficie esférica es una circunferencia que se llama base del casquete. · La altura del casquete esférico es el segmento perpendicular al plano de la base por el centro y comprendido entre el plano secante y el casquete. | SEGMENTO ESFERICO. · Si un plano secciona a una esfera se llama segmento esférico a cada una de las partes en que queda dividida. · La sección del plano con la esfera es un círculo que se llama base del segmento. · La altura del segmento esférico es el segmento perpendicular a la base por su centro y comprendido entre el plano secante y el segmento esférico |
HUSOESFERICO: · Se llama huso esférico al conjunto de puntos comunes a la superficie esférica y a un diedro cuya arista sea una recta diametral | CUÑA ESFERICA. · Se llama cuña esférica al conjunto de puntos comunes a la esfera y a un diedro cuya arista sea una recta diametral. |
ZONA ESFERICA: · Se llama zona esférica al conjunto de puntos de una superficie esférica comprendida entre dos planos secantes paralelos, incluidos los puntos de las circunferencias obtenidas como secciones. · Las secciones de los planos con la superficie esférica son circunferencias llamadas bases de la zona esférica. | SEGMENTO BIBASICO. · Se llama segmento bibásico al conjunto de puntos de una esfera comprendidos entre dos planos secantes paralelas, incluidas los puntos de las secciones. · Las secciones de los planos con la esfera son círculos llamados bases del segmento bibásico. |
Se llama altura de la zona o del segmento bibásico al segmento determinado por los centros de las bases (distancia entre los planos)
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| husoesferico y cuña esferica. |
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| zona esferica |
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| casquete esferico |
CILINDRO Y SUPERFICIE CILINDRICA
Consideramos una curva C y una dirección D.
Si por cada punto de la curva se traza una recta de dirección D se genera una superficie curva llamada superficie cilíndrica.
Las rectas de dirección D se llaman generatrices de la superficie cilíndrica, la curva C es la directriz de la superficie cilíndrica.
DEFINICION:Dada una superficie cilindrica y dos planos paralelos que corten a todas sus generatrices, se llama cilindro al solido limitado por la superficie cilindrica yambas secciones.
ELEMENTOS DEL CILINDRO.
- Tiene dos bases circulares paralelas y congruentes,cuyo contorno describe la generatriz.
- El radio del cilindro es el radio de una de las bases.
- La altura es el segmento determinado por los centros de ambas bases y es perpendicular a la misma.
CONO Y SUPERFICIE CONICA
Si consideramos una curva C y un punto p no perteneciente a ella y se trazan todas las rectas determinadas por el punto p con cada uno de los puntos de la curva se genera una superficie curva llamada superficie cónica.
la curva C se llama directriz de la superficie cónica.
Las rectas determinadas por cada punto de la curva con el punto v se llaman generatrices de la curva.
El punto v se llama vértice de la superficie cónica.
DEFINICIÓN:
la curva C se llama directriz de la superficie cónica.
Las rectas determinadas por cada punto de la curva con el punto v se llaman generatrices de la curva.
El punto v se llama vértice de la superficie cónica.
Dada una superficie cónica y un plano que corte a todas sus generatrices , se llama cono al cuerpo solido limitado por la superficie cónica comprendida entre el vértice y sección.
- El cono tiene un vertice y una base circular cuyo contorno describe la generatriz.
- El radio del cono es el radio de la base.
- La altura del cono es la distancia trazada desde el vertice hasta el plano de la base.
- el eje es la recta que pasa por el vertice y el centro de la base.
Si la altura coincide con su eje, el cono es recto.Si el eje y la altura no coinciden , el cono es oblicuo.
 |
| cono oblicuo |
AREA LATERAL Y TOTAL .
Área lateral y total del cono.
El área lateral del cono es igual a la superficie del sector que tiene por radio la generatriz del cono y por longitud de arco la de la circunferencia base.
El área total del cono es igual a la suma del área lateral mas el área de la base.
Área lateral y total del cilindro.
El área lateral del cilindro es equivalente al área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base del cilindro y cuya altura es la altura del cilindro.
| AL = 2 · p · r · g |
El área total del cilindro es igual a la suma del área lateral mas el área de la base.
ÁREA TOTAL
ÁREA TOTAL
| AT = AL + 2 · Ab |
Área de la esfera.
El área de la esfera es dos tercios respecto del cilindro
¡¡¡MANOS A LA OBRA!!!
1) En una fábrica de envases de hojalata se hacen latas para fruta en almíbar, para atún y para tomates en conserva.
a) ¿Cuántos cm² de papel les lleva aproximadamente cada una de las etiquetas de los envases?
b) ¿Cuántos cm² de hojalata necesitan aproximadamente para fabricar cada envase?
| LATAS | RADIO | ALTURA |
| Atún | 4,15 cm | 4 cm |
| Tomate | 4 cm | 12 cm |
| Fruta | 5 cm | 13 cm |
2) a) ¿Qué superficie aproximada de masa se debe arrollar para fabricar cada uno de los siguientes cucuruchos de helado?
b) Si se forran con papel metalizado y se les coloca una tapa del mismo material para venderlos por lo calle, ¿cuántos cm² de papel se necesitan aproximadamente para cada uno?
c) ¿Cuál de estos cucuruchos les parece que le convendrá vender al heladero si llevan una bocha de forma semiesférica (una esfera dividida en dos) de igual radio que el cucurucho?
| CUCURUCHOS | RADIO | ALTURA | PRECIO |
| Chico | 3 cm | 6 cm | $0,75 |
| Mediano | 2 cm | 10 cm | $1,00 |
| Grande | 4 cm | 12 cm | $1,50 |
3) Calcula el área lateral y total de un cilindro circular sabiendo que su radio mide 6 cm y su altura 15 cm.
ENVÍA LOS PROBLEMAS RESUELTOS A LA DIRECCIÓN DE CORREO DE LA CÁTEDRA.
¡ANIMO!¡TU PUEDES!
VOLUMEN DE CUERPOS REDONDOS
VOLUMEN Del cono
Teniendo en cuenta la siguiente propiedad :"todo cilindro es equivalente a la suma de tres conos de igual base y altura"; deducimos que el volumen del cono es igual a un tercio del volumen del cilindro de igual base e igual altura.
VOLUMEN DEL cilindro.
Por propiedad:"si un prisma y un cilindro tienen bases equivalentes en área
y la misma altura, entonces son equivalentes en volumen."
VOLUMEN DE la esfera.
Una semiesfera equivale en volumen a dos conos cuyos radios y alturas son iguales al radio de la semiesfera.
Volumen esfera = 4PR3/3.
ACTIVIDAD: A PARTIR DE UN EJEMPLO,COMPRUEBEN,UTILIZANDO LAS FORMULAS CONOCIDAS DEL VOLUMEN DEL CILINDRO Y LA ESFERA, LA INFORMACIÓN DE ARQUIMEDES.
ACTIVIDADES DE APLICACION.
- El envase cilíndrico de una lata de gaseosa marca "Frescurita"tiene 12cm de de altura y el radio de su base mide 2,7cm ¿que volumen tiene la lata?
b)La marca Frescurita va a sacar una nueva linea de envases cilíndricos de 500 cm3 de volumen.Si por cuestiones de comercialización la empresa quiere que la altura del cilindro sea de 20cm¿cual debe ser aproximadamente la medida del radio de la base?
2.En el bar "La Pizza Pentagonal"sirven el jugo de naranja en vasos cilíndricos de18cm de altura y 8cm de diámetro de la base.
Cierto día el dueño decidió cambiar los vasos y el jugo comenzo a servirse en vasos cónicos de8 cm de diámetro en la boca y 25 cm de altura.¡que bueno!dijeron los clientes contentos, "el vaso es mas alto, así que nos están sirviendo mas jugo"!
a)¿que volumen puede contener el vaso cilíndrico?
b)¿y el vaso cilíndrico?
c)¿esta justificada la alegría de los clientes?¿por que?´
3.Luis y Juan van al cine, al momento de comprar pochoclos les ofrecen dos ti`pos de de envases que se llenan al ras. Un cucurucho conico de altura igual al radio y una semiesfera de igual radio que el cucurucho cuesta$1,50 y la semiesfera cuesta $2,50.¿cual les conviene comprar y por que?
(FUENTE:MATEMATICA9deLaura Spivak-edit.SANTILLANA)
EXTRACCION DE FACTORES DEL RADICAL.
Considerando la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación y la division,cuando las potencias del numero que esta dentro del signo radical son mayores o iguales al índice de la raíz, podemos, en algunos casos,simplificar el radical, extrayendo factores fuera del radical.
Luego descomponemos el radicando en un producto de potencias de igual base, de modo que el exponente de una de ellas sea múltiplo del índice, y el otro exponente menor que el índice
Ejemplo:
Se observa que para determinar que factores se pueden extraer fuera del signo radical, es conveniente escribir al numero como producto de potencias de números primos(en forma factoreada)
Si el radicando es un producto de varios factores,se aplica lo anterior a cada uno de los factores,aplicando la propiedad distributiva.
Luego descomponemos el radicando en un producto de potencias de igual base, de modo que el exponente de una de ellas sea múltiplo del índice, y el otro exponente menor que el índice
Ejemplo:
Se observa que para determinar que factores se pueden extraer fuera del signo radical, es conveniente escribir al numero como producto de potencias de números primos(en forma factoreada)
Si el radicando es un producto de varios factores,se aplica lo anterior a cada uno de los factores,aplicando la propiedad distributiva.
Ejemplo:
ACTIVIDADES.
Extrae factores del signo radical.
Introduce factores al radical. 
1 
2
Introduce factores al radical.
Halla las sumas:
1
2
3
4
RADICALES SEMEJANTES Y OPERACIONES.
Los radicales que tienen el msmo indice y el mismo radicando se llaman "radicales semejantes".
los radicales semejantes dfieren unicamente por sus coeficientes.
ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.
La suma o diferencia de dos radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los radicales dados.
Ejemplo:
los radicales semejantes dfieren unicamente por sus coeficientes.
ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.
La suma o diferencia de dos radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los radicales dados.
Ejemplo:
PRODUCTO DE RADICALES:
a)DE IGUAL INDICE.: El producto de dos radicales del mismo indice es otro radical cuyo indice es el mismo y cuyo radicando es el producto de los radicandos.
b)DE DISTINTO INDICE: elproducto de dos o mas radicales de distinto indice es igual al producto de otros tantos radicales del mismo indice equivalentes a los dados tales que:
- el indice es el multiplo comun menor de los indices de los radicales dados;
- los exponentes de los radicandos se obtienen multiplicando cada uno de ellos por el mismo numero por el cual se multiplico el indice de dicho radical.
ejemplo:
DIVISION DE RADICALES.
a)DE IGUAL INDICE: para dividir radicales con el mismo indice de dividen los radicandos y se deja el mismo indice.
b)DE DISTINTO INDICE: primero se reducen a indice comun y luego se dividen.
ejemplo: 
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